三相回路におけるNETWORKとCIRCUITの設定

　EMSolutionで電気回路との接続を考慮するためには，NETWORKとCIRCUITによる方法があります。NETWORKは回路図に書かれた回路素子や電源とその接続を入力データとして設定する方法であるため，直観的でわかりやすいと思われます。一方，CIRCUITは回路の接続を独立な変数だけに整理し，その接続を行列で与えるため，直接解くべき回路方程式を表現するような方法となります。従って，CIRCUITは入力データの作成が難しいこともあり，あまり複雑な計算には向かないと思われます。しかし，NETWORKはオプションモジュールであることもあり，簡単な回路ではCIRCUITだけで済ませたいと思われることもあるかと思います。そこで，ここではよく使用される三相回路を例として，NETWORKとCIRCUITの対応について説明します。　

１．NETWORK
NETWORKは回路図より回路素子やその結線をEMSolutionのinputに記述する方法であり，直観的であるために理解しやすいと思われます。そこで，まず計算するモデルの回路図を示し，CIRCUITとの比較を明確にするため，NETWORKによるデータを作成してみます。

Fig.1に三相回路の回路図を示します。図中の青字は素子番号を，赤字は端子番号を表します．この回路は“かご型誘導電動機の一極分でのモデル化”に接続された回路であり，メッシュやinputファイルなどをダウンロードすることができます。
　Fig.1の橙色の部分は，要素分割され有限要素法でコイルとして磁界解析を行う領域です。また，回路の各相に直列な部分を枝と呼び，それぞれの枝を枝1，枝2，枝3とします。以降，素子，電源等の添字は各枝番号に対応します。このメッシュ内のコイルの抵抗（ r 1， r 2， r 3），自己インダクタンス（l 1， l 2， l 3），相互インダクタンス（m 12， m 23， m 31）はEMSolution内部で考慮されるので，ユーザがその値を指定する必要はありません。（コイル抵抗はEMSolutionで計算せずに，外部抵抗の一部として与えることもできます）。

Fig.1 NETWORKにおける三相回路図

次に，回路のメッシュに含まれない外部素子やケーブルなどの外部抵抗（R 1， R 2， R 3），外部自己インダクタンス（L 1， L 2， L 3），外部相互インダクタンス（M 12， M 23， M 31）はNETWORKの抵抗要素R，インダクタンス要素L，相互インダクタンス要素Mとして設定します。また，定電圧電源は，電圧源要素VPS，定電流電源は電流源要素CPSとして設定します。ここでは定電圧電源VPSとし， V 1， V 2， V 3 は，大きさが等しく位相が順に120度ずつ遅れたU，V，W相の三相電圧条件を与えます。従って，(1)式が成立します。

V 1=Ve^jωt， V 2=Ve^{j（ωt-2π/3）}， V 3=Ve^{j（ωt-4π/3）}， V 1+ V 2+ V 3=0 ･･･(1)

Fig.2のようにinputファイル中のNETWORKのデータを設定します。ただし，外部自己・相互インダクタンスは考慮せず，メッシュのコイル抵抗は外部抵抗Rとして全て2.92Ωとしています。ロータバーの導電率を1.01×10⁷S/mとして与え，SUFCURで定義することで，ロータバーの抵抗はEMSolution内部で計算されます。Fig.2の下2行はロータバーの回路で，三相回路とは直接関係なく，ロータバーの電源は定電流電源CPSとし，その大きさは0とする。このように大きさ0の定電流電源CPSと接続することで，回路が短絡している，つまり電流を保存させることを表します．

Fig.2 NETWORKのinput

Fig.3は定電圧電源に与える時間関数です，その大きさ，位相などの時間的な変化を示します。電圧の大きさは線間電圧100Vを相電圧に変換し，最大値とした V（≒81.649V），周期は0.2s（周波数50Hz），位相はU，V，W相がそれぞれt=0のとき0，-120，-240度です．

Fig.3 NETWORKのinput（時刻部分）

Fig.1の変数と対比すると，(2)式のようになることがわかります。

R 1= R 2= R 3=2.92

L 1= L 2= L 3= M 12= M 23= M 31=0 ･･･（2）

V 1=81.649e^jωt， V 2=81.649e^{j（ωt-2π/3）}， V 3=81.649e^{j（ωt-4π/3）}

I 1， I 2， I 3 は未知変数ですが，三相対称回路であるため次式が成立します。

I 1= I 2= I 3=0 ･･･（3）

定電源電圧は三相対称として入力データを与えますが，得られた解析結果は，一般的には電流は三相対称になるとは限りません。本解析の例でもある“かご型誘導電動機の一極分でのモデル化”のメッシュ形状は三相に対する対称性はないため，内部インダクタンスは等しくならず， I 1， I 2， I 3 は対称とならないことからもわかります。
線形交流定常解析（AC）を実行します。モデルは誘導機ですので，本来材料非線形性とすべり周波数，スロット高調波の影響が電流波形に現れてきますが，AC解析であるため，材料は線形とした結果が得られます。t=0におけるoutputの回路素子に関する結果はFig.4のようになります。

Fig.4 NETWORKのoutput（時刻部分）

　Fig.4のID No.はFig.1の青字で示された素子番号に対応しており，1～3はメッシュのコイル，4～6は外部抵抗，7～9は電源であり，それぞれに流れる電流及び電圧位相差を表しています。また，1～3はコイルに鎖交する磁束量も示されています。これは“外部電流磁場ソース（COIL）におけるインダクタンスの取り扱い”でも説明されているように，ターン数あたりのコイル鎖交磁束量となっております。電流や電源の電圧の条件式(1)，(3)をいずれも満足していることがわかります。ここでは示しませんが，t≠0以外の結果も同様に満足しています。

２．CIRCUIT
CIRCUITはNETWORKのように回路図をそのまま扱わず，独立な閉ループを設定する方法です。よく知られているように，独立な閉ループの数はグラフ理論における補木（co-tree）の数となります。Fig.1の回路における独立な閉ループ数は2であるので，Fig.5に示すような閉ループ A， B< を定義し，それぞれのループに流れる電流を閉路電流I A， I B とします。すると，NETWORKで定義した枝電流 I 1， I 2， I 3 と閉路電流 I A， I B は次のような行列式の関係が成立します。

同様に，NETWORKで定義した各枝の電源の電圧は V 1， V 2， V 3 と閉ループの電源の電圧 V A， V B は次のような行列式の関係が成立します。

(5)式で表される枝と閉ループの関係を表す行列を閉路行列，またはタイセット行列といいます。(4)，(5)式からわかるように，枝と閉ループの電流，電圧の関係を表す行列は転置行列となります。

Fig.5 CIRCUITにおける三相回路図

Fig.6にCIRCUITの設定を示します。外部抵抗，外部インダクタンスは行列として入力します。ソースの数はNO SERIESで設定し，その中で独立な数をPOWER SUPPLIESとします。また，(4)式の接続行列をCONNECTION MATRIXとして設定します．

Fig.6 CIRCUITのinput-1

電圧は(5)式の閉ループの電圧 V A， V B を入力値とするため，その求め方を示します。Fig.7に三相対称電圧である枝の電圧 V 1， V 2， V 3 のベクトルを示します。(5)式より，例えば V Aは V 1 - V 3 であるから，赤矢印のように大きさが V 1 の√3倍，位相が V 1 に比べて30度遅れたベクトルになります。同様に，青矢印で示される V B の大きさは V 1 の√3倍であり，位相は V 1 に比べて90度遅れています。従って，Fig.8のように電圧の大きさは100√2Vになる．これは，Y結線をΔ結線に変換し，さらに閉回路とするため一辺を取り除いたV結線に変換しているのと等価となります。なお，大きさに負の符号が付いているのは，NETWORKの定電圧電源の方向の定義が逆になっているためです。

Fig.7 電源の大きさと位相

Fig.8 CIRCUITのinput-2

NETWORKと同様にAC解析を実行し，t=0におけるoutputの回路に関する結果をFig.9に示します。

Fig.9 CIRCUITのoutput

Fig.9のSourcesのID No.1，2，3はそれぞれ枝1，枝2，枝3を表しています。Amplitude (Current)は枝電流 I 1， I 2， I 3，であり，Fig.3のID No.1，2，3の電流に相当します。VoltageはFig.4に示すような各枝の電源以外の電圧降下を表します。例えば，枝1のVoltageはFig.9より-8.19083e+001Vであるが，これはNETWORKのID No.1，5の和に一致していることがわかります。　
Fig.9のPower SourcesのID No.1，2はそれぞれ閉ループ A， B を表しています。Currentは閉路電流IA，IBです。VoltageはFig.4に示すような各閉ループの電源を表します。例えば，CIRCUITのID No.1のVoltageは-1.22474e+002Vであるが，これはNETWORKのID No.7，9の和に一致していることがわかります。
三相回路におけるNETWORKとCIRCIUTの関係をご理解いただけたかと思います。CIRCUITの設定方法の説明は，HPに示しておりませんでしたので，NETWORKによる設定方法と比較する形で説明致しました。NETWORKの三相回路の説明は，“Y結線と△結線”にも示しておりますので，参考にして頂ければと思います。NETWORK，CIRCUITのいずれかで設定するにしろ，想定している回路を模擬頂ければと思います。　文中でも示しましたが，ここで使用したデータは，CIRCUITは“誘導電動機の解析”，NETWORKによる設定法は，“かご型誘導機の二次元解析におけるロータバーとエンドリングの取り扱い”，“かご型誘導電動機の一極分でのモデル化”にありますので参照して頂ければと思います。

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