偏平・偏長要素の収束性の改善

有限要素法においては、一般的にメッシュ内に偏平あるいは偏長な要素（Fig.1）が含まれますと行列の性質が悪くなり、ICCG法等の収束が遅くなります。EMSolutionにおきましては、極度に偏平な要素になる場合、二次元要素であるGAP要素に置き換えることができますが、三次元要素を使用したい場合が多くあります。例えば、プランジャーなどの運動解析を行う場合、ギャップが極度に小さくなるときがありますが、運動連成解析ではGAP要素は対応しておりません。また、二次元メッシュを積み上げにより三次元メッシュとする場合、空気領域に非常に偏平な要素ができてしまうことが多々あります。

Fig.1　偏長要素と偏平要素（b/a：アスペクト比）

そこで、EMSolutionにおきましては、このように非常に偏平あるいは偏長な要素が含まれる場合の収束性を改善する方法を導入しました。ここでは、解析例を通じてその効果を紹介します。まず、 「ギャップ要素を用いた解析」について示します。ここでは、Fig.2に示しますように、ギャップを三次元要素でモデル化し、変形（Deform）機能を使ってギャップ間隔を変化させる解析を行います。Fig.3にギャップ間隔に対するICCG法の収束回数を示します。本改善法を用いますと、三次元要素でギャップ間隔を1μmにしても収束回数が増大せず、非常に良い収束特性を示しています。

Fig.2　磁気回路中の空気ギャップモデル

Fig.3　ギャップ間隔に対するICCG法の収束回数

次に、電気学会検証用Box Shieldモデル（Fig.4）について示します。0.2m角の直方体シールド（厚さ0.01mm）に上下のコイルにより磁場を加えます。板厚方向に10分割しています。メッシュは二次元メッシュを三次元に積み上げて作成した直交格子を用いており、非常に偏平、偏長な要素が含まれます。特に外部の空気領域では、アスペクト比が2万に達する要素もあります。非線形静磁場解析を行い、鉄材（SS400）中の磁場は飽和磁界に達しています。Fig.5に収束過程を、Table�Tに要素数等の解析パラメータと計算時間を示します。本改善法を使用しない従来の方法に比べて、ニュートン・ラフソン法の反復回数はそれ程変わりませんが、ICCG法の反復回数が約1/24と非常に少なくなっています。これにより、従来34分かかっていたものが、4分足らずと9倍以上高速に求解できています。なお、本改善法では、若干未知数の数と行列非ゼロ要素の数が多くなり、使用メモリは増大します。

Fig.4　電気学会解析検証用Box Shieldモデル

Fig.5　ICCG法とニュートン・ラフソン法の収束

Table I.　解析パラメータと計算時間
　
　
Pentium 4 of 2.8GHz

これらより、本改善法の有用性を示せたと思います。本改善法は、特に空気中の偏平・偏長要素に対して効果があるようです。渦電流の表皮層に適用することも考えられますが、あまり効果は無いようです。6面体、3角柱要素に対して適用できます。もちろん本機能を使用した場合と使用しない場合で計算結果に差異はありません。本機能はEMSolution r10.1.1より使用可能となっています。

使用法
メッシュ分割は、適用する領域に対して、三次元要素（6面体、3角柱）で分割してください。Inputファイル中に領域物性番号とアスペクト比を設定することにより、アスペクト比が設定された値より大きい要素に対して適用されます。最初の例のように変形（Deform）機能を使用した場合には、pre_geomで入力した位置で判断されます。変形によるアスペクト比の変化は考慮されませんので、注意願います。実際適用されたかどうかは、適用しない場合に比べ、outputファイル中に出力される未知数（Number of unknowns）が増えているかどうかにより判断できます。 input入力ファイルにおいて、以下のデータ追加を行います。
始めに、「4. 形状関数の次数」でTHIN_ELM=1とします。


次に、「16. 要素特性」の次に、アスペクト比と適用する物性番号を入力します。以下の例では物性番号5（本例ではギャップ部）の要素に対してアスペクト比（THIN_CRITERION）が4以上の要素に対して適用されます。

使用データ：磁気回路中の空気ギャップモデルの入力データ
input.txt , pre_geom.neu
注）試用バージョンでは実行できません。